a>b>0,c>0,求证:√(a+c)-√a<√(b+c)-√b

可以用分析法。

要证明：√(a+c)-√a<√(b+c)-√b
只需证：:√(a+c)+√b<√(b+c)+√a
只需证：a+c+b+2√(a+c)b<b+c+a+2√(b+c)a
即证：√(a+c)b〈√(b+c)a
ab+bc<ab+ac
即证：bc<ac
因为c>0，所以只需证：b<a，这是已知条件，显然成立。

得证。

要证√(a+c)-√a<√(b+c)-√b
只要√(a+c)+√b<√(b+c)+√a
只要（√(a+c)+√b）²＜（√(b+c)+√a）²
只要a+c+b+2√(ab+bc)＜b+c+a+2√（ab+ac）
只要2√(ab+bc)＜2√（ab+ac）
只要ab+bc＜ab+ac
只要bc＜ac
只要b＜a
∵a>b>0
∴原是成立

根号（a+c)+根号b=根号a+根号（b+c)
两边平方得：a+b+c+根号（a+c)b＜a+b+c+根号a(b+c)
化简，两边再平方得：ab+bc＜ab+ac
即：bc＜ac
即：b＜a.